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卡尔曼滤波与组合导航第三讲ppt

发布时间:2019-06-27 15:36 来源:未知 编辑:admin

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  第三章 卡尔曼滤波原理 3.1 卡尔曼滤波与最优估计 3.2 卡尔曼滤波方程 3.3 连续系统的卡尔曼滤波方程 3.4 连续—离散系统卡尔曼滤波方程 3.5 卡尔曼滤波在组合导航中的应用方式 3.6 非线 卡尔曼滤波与系统可观测性分析 3.1 卡尔曼滤波与最优估计 卡尔曼滤波是一种最优估计技术 ! 3.2 卡尔曼滤波方程 1、离散系统的数学描述 3.3 连续系统的卡尔曼滤波方程 一般情况下经常采用离散卡尔曼滤波方程 根据估计均方误差最小的估计准则,按上述系统和量测值,可以推导出连续系统的滤波方程,即 3.4 连续—离散系统卡尔曼滤波方程 实际被估计状态的系统经常是连续系统,而量测是间隔时间的,这种被估计对象常称为连续—离散系统 滤波方程 : 连续系统离散化的实质 上式中T为滤波器的计算周期 3.5 卡尔曼滤波在组合导航中的应用方式 1、输出校正和反馈校正 3.6 非线性系统的卡尔曼滤波 一、非线性系统的卡尔曼滤波方程 二、按标称状态线性化的卡尔曼滤波方程 三、按最优状态估计线性化的卡尔曼滤波方程 ——广义(推广/扩展卡尔曼滤波方程) 3.7 卡尔曼滤波与系统可观测性分析 一、系统的能观性能控性 二、不完全可观测系统 三、线性时变系统可观测性分析——PWCS方法 基于奇异值分解的可观测度分析方法在动基座对准中的应用 结论: 解决了系统状态变量可观测性的定量分析问题 不需要事先进行卡尔曼滤波解算,直接利用可观测矩阵进行可观测度分析 为动基座对准时状态变量可观测度分析提供了有效途径 (1)直接法估计和间接法估计 组合导航系统采用卡尔曼滤波 进行估计的主要对象 导航参数 导航参数 位置λ,L 速度VX ,VY ,VZ 姿态ψ,θ,γ 导航参数用X表示 直接法 间接法 根据滤波器状态选取的不同,估计方法分为 以各种导航参数X为主要状态 滤波器估值的主要部分即是导航参数的估值 以某种导航系统输出导航参数的误差为主要状态 滤波器估值的主要部分即是导航参数误差的估值 模型可能是线性的,也可能是非线性的 模型一般都是线性的 根据间接法估计的状态都是误差状态,即滤波方程矢量是上述导航参数误差状态△X和其他误差状态的集合(仍用△X表示) 利用状态估值 去对原系统进行校正也有两种方法,即输出校正和反馈校正两种。 (2)输出校正 惯性系统 卡尔曼滤波器 其他导航系统 + - 图3.2 输出校正的滤波器 间接法的综合导航卡尔曼滤波器:将惯性系统和其他的导航系统各自计算的某些导航参数 (分别用XI和XN表示)进行比较,其差值就包含了惯导某些导航参数误差,即: 滤波器将这种差值作为量测值,经过滤波计算,得到滤波器的状态估值。 — 输出校正的定义: 就是用导航参数误差的估值 去校正系统输出的导航参数,得到综合导航系统的导航参数估值 (即经过校正后系统导航参数值)即: 定义 的估计误差 为: 即组合导航系统的导航参数 的误差 ,就是惯导系统导航参数误差估值 的估计误差 。 (3)反馈校正 惯性系统 卡尔曼滤波器 其他导航系统 + - 图3.3 反馈校正的滤波器 采用反馈校正的间接法估计是将惯导系统导航参数误差 的估值 反馈到惯导系统内,对误差状态进行校正。 根据误差状态的性质,反馈校正又分成三种 3:补偿校正(对惯性仪表误差的校正); 1:脉冲校正(对速度误差和位置误差等的校正); 2:速率校正(对平台误差角的校正); 脉冲校正: 令系统方程和量测方程分别为: 脉冲校正: 为了简化讨论,设利用tk时刻量测Zk即能计算得到估值 并且施加校正。设XK各状态在tkc时刻都能够施加脉冲反馈校正 UkP , tkc表示施加校正后的tk时刻,则tkc 刻的状态方 为: 校正量 UkP就是估计值 的负值,则滤波器中经校正后的估值 为: 经过校正后估值为零 表示量测 校正前的tk时刻 补偿校正: 补偿反馈校正是滤波器工作时间内任何时刻都施加校正量 设各个状态都施加补偿校正Uc ,补偿校正前的状态为Xb, 补偿后的状态为 X, X =Xb +Uc,则方程不因Uc而改变。 但量测方程一般与经过校正后的状态有关。即: 脉冲校正与补偿反馈校正的共同点: 输出校正与反馈校正总结 从形式上看,输出校正仅仅校正系统的输出量,而反馈校正则是校正系统内部的状态。可以证明,两种校正方法的性质是一样的,具有同样的精度。 但是,输出校正的滤波器所估计的状态是未经校正的导航参数误差 ,而反馈校正的滤波器所估计的状态误差是经过校正的导航参数误差。前者数值大,后者数值小,而状态方程都是经过一阶近似的线性方程,状态的数值越小,则近似的准确性越高,因此,利用状态反馈校正的系统状态方程,更能接近真实地反映系统误差状态的动态过程。 故:对实际系统来讲,只要状态能够具体实施反馈校正,综合导航系统就可尽量采用反馈校正的滤波方案。 一般的非线性系统(连续)和离散系统的方程可由以下形式描述: 或 如果Wt或{Wk-1},Vt或{Vk}的概率分布是任意的,那么上述系统所描述的将是属于非常一般地随机非线性系统。这类系统的最优估计问题的求解非常困难。 为了简化问题分析,必须对噪声的统计特性给以符合实际又便于处理的假定。 这里研究的非线性最优估计问题的随机非线性系统的数学模型属于如下类型 : 或 这里Wt或{Wk-1},Vt或{Vk} 均为彼此不相关的零均值白噪声序列,它们与初始状态X(0)或X0也不相关 通常 基本假设:非线性微分方程的理论解一定存在,而且这个理论解与实际解之间的差能够用一个线性微分方程表示,称为“线性干扰方程”,“小偏差方程”,“摄动方程”。 1、围绕标称状态的线性化 或 当Wt或{Wk-1},Vt或{Vk}恒为0时,系统模型(上述)的解称为非线性方程的理论解,又称“标称轨迹”或标称状态。通常记为Xn(t)或Xkn,和Zn(t)或Zkn,则有: 或 非线性系统的真轨迹运动与标称轨迹运动的偏差为 : 如果这些偏差足够小,那么,可以围绕标称状态把X(t)和Z(t)展开成泰勒(Taylor)级数,并且可取一次近似值。 或 则有 : 2、离散型线性化卡尔曼滤波方程 推导离散型线性化卡尔曼滤波方程有两条途径: (1)先离散化后线性化的卡尔曼滤波方程 同线性化 非线性系统离散化 麻烦! (2)先线性化后离散化的卡尔曼滤波方程 更方便 问题、缺点 (1)标称解难解 (2)真轨迹与标称轨迹之间的状态差△X(t)或△Xk不能确保其足够小 或 值得注意的是 或 和 或 与前述的 不同 1、概述 为此,改用另一种近似方法,即采用围绕最优化状态估计 或 的线性化方法,现定义真轨迹与标称轨迹间的偏差为: 或 非线性化系统标称状态微分方程: 当初始值用初始状态最优估计 代入时的解 或初始值用初始状态最优估计 对上式进行数值求解所得的解。 其中 就是系统状态 的一步预测值,即: 2、离散型非线性广义卡尔曼滤波方程 推导离散型非线性卡尔曼滤波方程同样有两条途径: 更好 先线性化,后离散化的推导:采用间接的方法 间接求解最优化滤波值 直接采用连续系统线性化方程式: 对上述两式分别进行基本求解阵离散化得离散型线性干扰方程为: T为小量时 考虑有: 仿照线性卡尔曼滤波基本方程,不难导出偏差的卡尔曼滤波方程 式中 注意,由于在每一次递推计算下一时刻的状态最优估计 和标称状态值 时,其初始值均采用状态最优估计的初始值,所以 最后,求得离散型线性广义卡尔曼滤波方程: 初始条件: 最后,必须注意,先线性化后离散化所出现的 与先离散后线性化出现的 有本质的区别。 (1)系统可观测性的定义: (2)系统可观测性的判别方法: 如果系统在 的状态矢量 能够从时间区间 内系统的输出函数 (对离散时间系统为输出序列)中确定出来,则称该系统为可观测的。如果对于任何 、 ,系统都是可观测的,则称系统是完全可观测的。 则系统是完全可观测的,否则称为不完全可观测的。 可观测性判别矩阵: 若 n为状态矢量的维数 (即状态变量的个数) 卡尔曼滤波的稳定性 卡尔曼滤波要求初始条件为: 或 估计是 无偏的 在实用中,被估计状态的一、二阶统计特性和往往不能准确得到,在这种情况下,滤波必须满足稳定性要求。 否则,不同的初始条件会导致滤波器得出不同得估值。 满足滤波稳定性是指: (1)随着滤波时间得增长, 估值逐渐不受初始值 的影响。 (2)随着滤波时间得增长,估计均方差误差阵 逐渐不受初始估计均方差误差阵 的影响。 这样,即使初始条件不同,随着滤波时间的增长,估值和估计均方差误差阵也会逐渐趋于相同。 估值 逐渐不受初值 的影响,是滤波器稳定的唯一标志,可以证明,只要滤波器是稳定的,估计均方差误差阵 同样是逐渐不受初值 的影响。因此,经常用滤波器是否稳定来说明滤波稳定性。 满足滤波稳定的条件 卡尔曼等人首先提出用随机可控性和随机可观测性作为判别滤波稳定性的条件——即可观测性。 利用可观测性判别滤波估计能力 卡尔曼滤波效率分析 可观测度问题: 状态变量的可观测程度,关系到状态的可估计程度。滤波收敛的速度和滤波精度。 两个问题: (1)可观测度的定义,度量准则。 (2)用可观测度表示状态的可估计程度。 当方程中 和 在每个时间区间 内可认为不变时,上述线性时变系统在每个时间区间内成为线性定常系统,故称为分段线性定常系统(piece_wise constant system,简称PWCS) 这样方程可描述为: 可以确定哪些状态可观测,哪些不可观测 无法确定每个状态变量的可观测程度 可以确定哪些状态可观测,哪些不可观测 无法确定每个状态变量的可观测程度 能否找到一种不需事先做卡尔曼滤波运算, 直接利用可观测矩阵实现系统可观测度分析的方法? 基于特征值和特征向量的可观测度分析方法 基于奇异值分解的系统状态变量可观测度分析方法! 可观测矩阵的奇异值越大, 其对应的状态变量可观测度越大! Ham,利用Kalman滤波协方差阵的特征值和特征向量 特征值越小,对应的状态变量可观测度越高 必须在Kalman滤波解算之后,计算量巨大 卡尔曼滤波与组合导航 Theory of Kalman filter and Integrated Navigation 它能将仅与部分状态有关的测量值进行处理,得出从某种统计意义上讲估计误差最小的更多的状态的估计值。 估计误差最小的标准称为估计准则。 根据不同的估计准则和估计计算方法,有各种不同的最优估计。 卡尔曼滤波是一种递推线性最小方差估计。 最小方差 估计 线性最小 方差估计 递推线、最小方差估计 最小方差估计的估计准则是估计的均方误差最小,即: 系统的n维随机向量 Z是m维随机量测向量 利用Z计算得到的 X的最小方差估值 估计的误差 估计均方差阵 根据其他方法用Z计算得到的X的估值 最小方差估计的误差小于等于其他估计的均方误差! 估计的均方误差就是估计误差的方差,即: 最小方差估计具有无偏性质,即它的估计误差(亦可用 表示)的均值为零。即: 因此,最小方差估计不但使估值 的均方误差最小,而且这种最小的均方误差就是估计的误差方差 2、线性最小方差估计 如果将估值 规定为量测矢量Z的线性函数,即 式中A和b分别是(n×m)阶和n维的矩阵和矢量。这 样的估计方法称为线性最小方差估计。 可证明,这种估计只需要被估计值X和量测值Z的一、二阶统计特性,所以,它比最小方差估计较为实用。 3、递推线性最小方差估计——卡尔曼滤波 卡尔曼滤波的准则与线性最小方差估计相同 估值同样是量测值的线性函数 只要包括初始值在内的滤波器初值选择正确,它的估值也是无偏的 计算方法——递推形式 在k时刻以前估值的基础上,根据k时刻的量测值Zk,递推得到k时刻的状态估计值 : 根据k-1时刻以前 所有的量测值得到 X(k)也可以说是综合利用k 时刻以前的所有量测值得到 的 一次仅处理一个量测量 计算量大大减小 主要适用于线性动态系统! 设离散化后的系统状态方程和量测方程分别为: Xk为k时刻的n维状态向量(被估计量) Zk为k时刻的m维量测向量 k-1到k时刻的系统一步状态转移矩阵(n×n阶) Wk-1为k-1时刻的系统噪声(r维) Γk-1为系统噪声矩阵 (n×r阶) Hk为k时刻系统量测矩阵 (m×n阶) Vk为k时刻m维量测噪声 Qk和Rk分别称为系统噪声和量测噪声的方差矩阵,在卡尔曼滤波中要求它们分别是已知值的非负定阵和正定阵; δk j是Kronecker δ函数,即: 卡尔曼滤波要求{Wk}和{Vk}是互不相关的零均值的白噪声序列,有: Var{·} 为对{·}求方差的符号 卡尔曼滤波要求mx0和Cx0为已知量, 初始状态的 一、二阶统计特性为: 且要求X0与{Wk}和{Vk}都不相关 2、离散卡尔曼滤波方程 或 状态一步预测方程 状态估值计算方程 滤波增益方程 一步预测均方差方程 估计均方差方程 2、离散卡尔曼滤波方程 时间修正 方程 量测修正 方程 (1)状态一步预测方程 各滤波方程的物理意义: Xk-1的卡尔曼滤波估值 利用Xk-1计算得到的一步预测 也可以认为是利用k-1时刻和以前时刻的量测值得到的Xk的一步预测 上式就是通过 计算新息,把 估计出来,并左乘一个系数矩阵 加到 中,从而得到 估值 和, 称为滤波增益矩阵 (2)状态估值计算方程 计算估值Xk的方程。它是在一步预测Xk/k-1的基础上,根据量测值Zk计算出来的 一步预测误差 若把 看作是量测 的一步预测,则 就是量测的一步预测误差 由两部分组成: 和 , 正是在 基础上估计 所需信息,因此 又称 为新息 由于 也具有无偏性,即 的均值为零,所以 也称为一步预测误差方差阵。上式中的 和 分别就是新息中的两部分内容 (3)滤波增益方程 一步预测均方差阵,即: Kk选取的标准就是卡尔曼滤波的估计准则,也就是使得 均方误差阵最小: 如果Rk大,Kk就小 Rk小,Kk就大 (4)一步预测均方误差方程 从下式可以看出,求Kk必须先求出Pk/k-1 式中 ,为 的估计误差,可以看出一步预测均方误差阵Pk/k-1是从估计均方误差阵Pk-1转移过来的,并且再加上系统噪声方差的影响。 的均方误差阵,即: (5)估计均方误差方程 或 计算量小,但在计算机有舍入误差的条件下,不能始终保证算出的Pk是对称的 (6)卡尔曼滤波的计算流程 滤波计算回路 增益计算回路 (7)初值的确定 在滤波开始时,必须有初始值 和 才能进行 为了保证估值的无偏性,应选择: 这样才能保证估计均方差阵Pk始终最小。 另外,如果系统和量测值中都有已知确定输入量 即系统的状态方程和量测方程为 一步预测方程改为: 状态估计方程改为: 其他滤波方程不变 但也可以直接从连续系统的滤波方程求出系统状态的估值,设连续系统的状态方程和量测方程分别为 : X (t)和Z (t)分别为t时刻的系统状态矢量和量测矢量; F(t),G(t)和H(t),分别为系统矩阵,系统噪声矩阵和量测矩阵; W(t)和V(t) 和分别为系统噪声矢量和量测噪声矢量,卡尔曼滤波要求它们都是零均值的白噪声过程。 R-1(t)为是量测噪声的方差强度阵 R(t)的逆阵,即 Q(t)是系统噪声的方差强度阵,即 如考虑系统有确定性输入量,则系统方程和量测方程分别: 量测修正方程 时间修正方程 : 可以采用微分方程的数 值解法来求解,也可以 用离散化的方法求解 ① 根据连续系统的系统矩阵 F(t)计算出离散系统的转移 矩阵 ΦK/K-1 ② 根据连续系统的系统噪声方差强度阵Q(t)计算出离散系统噪声方差阵 Qk ΦK/K-1的计算方法 如果计算周期T远小于系统阵F(t)发生明显变化所需要的时间,则ΦK/K-1可以利用定常系统的计算方法,即 所以 QK的计算方法 滤波计算中需要的系统噪声方差形式为 一般不单独 计算QK 连续系统的 通常 设系统为定常系统,令 = = 则 计算时项数的确定与计算ΦK/K-1 时的项数确定方法相同 时变系数也可按各分阶段间隔(△t)的系统阵为 定常阵的假设来计算: 如果计算周期T短,则也可按以下公式计算: 有色噪声条件下的卡尔曼滤波 卡尔曼滤波要求系统噪声和量测噪声必须是白噪声 如果系统噪声和量测噪声是有色噪声,则在滤波估计之前,必须把有色噪声描述成以下一阶马尔科夫过程: 量测噪声为有色噪声时,可扩充为状态变量 或 离散过程 连续过程 零均值的白噪声序列 零均值的白噪声过程 注意:如果经过状态扩充后,使量测方程中没有白噪 声的话,不能采用这种方法,必须将量测值另作处理 * * * *

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